Logarìtem

Da Wikipedia.
C'l artìcul chè 'l è scrit in Carpśàn Emiliàn
Al diagràma dal logarìt'm in dla bêś 2

In dal camp edla matemâtica, al logarìtem (logaritmo in itagliàn) in na "bêś" a (pośitìva e diferèinta da 'l 1), 'd un nùmer reêl pośitìv (ciamê "argumèint", b) , 'l è 'l esponèint p ch'a gh servìs a la bêś a p'r elevèr-es a 'l argumèint b:

\log_a b = p

Logarìt'm in dla bêś a ed b 'l è p, cùma dir che 'l esponèint da dèr a l'a p'r avér al b, 'l è p (b = a^p).

Proprietê di logarìtem

La sòma di logarìtem

La sòma ed soquànt logarìt'm in dla stèsa bêś a l'è cumpàgna a 'l logarìt'm in dla stèsa bêś a edla multéplica ed tùt chi só argumèint lè:

  \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)
dimostrasiòun:

A ciàm:

 \log_a b = p e  \log_a c = q

A vōl dir dòunca, per definisiòun, che:

 a^p = b e  a^q = c

S'a stàg a multeplichèr al b c'n al c, anca i èter mèmber dagli ugvagliànsi i s multiplicaràn a la stèsa manéra:

 b \cdot c = a^p \cdot a^q

Dal proprietê dal putèinsi a savòm ch'a psòm anca scrìver:

 bc = a^{p + q}

E per la definisiòun scrìta insìma:

 p + q = \log_a (b \cdot c)

D'in dû:

 \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)

Cum'a se vlìva dimustrèr (c.v.d.).

La sotrasiòun di logarìtem

La sotrasiòun ed dū logarìt'm in dla stèsa bêś a l'è cumpàgna a 'l logarìtem in dla stèsa bêś a edla diviśiòun ed chi só argumèint lè:

  \log_a b - \log_a c = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)
dimostrasiòun:

A ciàm:

 \log_a b = p e  \log_a c = q

A vōl dir dòunca, per definisiòun, che:

 a^p = b e  a^q = c

S'a stàg a divìder al b c'n al c, anca i èter mèmber dagli ugvagliànsi i s dividaràn a la stèsa manéra:

 \frac bc \ = \frac{a^p}{a^q}

Dal proprietê dal putèinsi a savòm ch'a psòm anca scrìver:

 \frac bc \ = a^{p - q}

E per la definisiòun scrìta insìma:

 p - q = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)

D'in dû:

  \log_a b - \log_a c = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)

Cum'a se vlìva dimustrèr (c.v.d.).

Al coeficìnt di logarìtem

A 'l logarìtem ch'al gh'àpia 'l argumèint cun 'n esponèint, a s pōl tōr-gh-el vìa per druèr-el cuma coeficìnt dal logarìtem stès:

 \log_a b^n =  n\log_a b
dimostrasiòun:

Dala:

 \log_a b = p

A savòm che:

 a^p = b

S'a stàg a elevèr i dū mèmber dl'ugvagliànsa p'r al stès esponèint n, sènd già ugvèl, i armagnaràn incòri uguèl:

 a^{n\cdot p} = b^n

D'in dû:

 n\cdot p = \log_a b^n

E dòunca, per l'egvagliànsa scrìta piò 'd sóver:

 n\log_a b = \log_a b^n

Cum'a se vlìva dimustrèr (c.v.d.).

Al cambiamèint edla bêś dal logarìtem

Èter prugèt